第 3 节 一阶电路的零输入响应

零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。

一、 RC 电路的零输入响应

 

图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后 时的电容电压 、电容电流 等响应的变化规律。

电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-1 （ b ）所示。 时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即

时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。

 

由换路定则得换路后电容电压的初始值

电容电流的初始值为

图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得

用积分变量分离法进行求解，得

式中，

为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
 

时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。

用 表示电路换路后的响应，用 表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为

RC 电路零输入响应的规律

RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。衰减得快慢由时间常数τ决定。

二、 RL 电路的零输入响应

 

图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。下面讨论换路后 时的电感电流 、电感电压 等响应的变化规律。

时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。

t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ， 时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-3 （ c ）所示。

由换路定则得换路后电感电流的初始值为

电感电压的初始值为

对于图 5.3-3 （ c ）电路，由 KVL 可得

采用积分变量分离法进行求解，得

式中，称为 RL 电路的时间常数，当 R 的单位为Ω， L 的单位为 H 时，τ的单位为秒（ s ）。

总 结

电容、电感动态元件在电路中充电和放电的过程，实际上是动态元件与电路的能量交换过程，动态元件本身并不耗能。

图 5.3-1 电路中，电路换路之前电容处于充电状态，电容从电压源吸收能量并储存起来，电路换路之后，电容又开始放电，释放的能量被电阻 R 所消耗，零输入响应就是一个放电的过程。

三、一阶电路零输入响应的计算
 

计算步骤

1 、画出 时刻的等效电路。这时电路已达到稳态，在直流激励作用时，将电容当作开路，将电感当作短路，求出 或 ，并根据换路定则，求得电路的初始状态。若需要计算电路中其它响应，再根据初始状态计算这些响应的初始值。

2 、求电路的时间常数τ。对于 RC 电路， ，对于 RL 电路， 。其中， R 为从电容 C 或电感 L 两端看进去的戴维南等效电阻。

3 、求出零输入响应

例 5.3-1 图 5.3-5 （ a ）所示电路中，开关原来处于位置 1 ，且电路已处于稳态， t=0 时刻开关 S 拨到位置 2 ，求 时的 ， 和 。

 

解： 1. 求初始值 ， 和

作出电路换路前 时刻的等效电路，如图 5.3-5 （ b ）所示，这时电路处于稳态，电容相当于开路，并由换路定则得

时刻的等效电路如图 5.3-5 （ c ）所示，两个 100 K Ω的电阻并联，所以

 

2 ．求时间常数τ

图 5.3-5 （ c ）电路中无外加激励，只有电容的初始电压通过两个电阻放电，因此，产生的响应为零输入响应。这时，从电容两端看进去的戴维南等效电阻是两个 100 K Ω的电阻并联，所以R=100K ∥ 100K=50K Ω

则时间常数为

3 ．电路换路后 时的响应为